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ガンにかかっている確率

問題設定

ある特定のガンの罹患率を0.1%(0.001)とします。
この癌に罹患しているかどうかを検査する簡易的な方法があって、この
ガンに罹患している人は95パーセント(0.95)の確率で陽性と診断される。
他方、健康な人が陽性と誤診される確率は2パーセント(0.02)である
さて、この検査で陽性と診断されたとき、あなたがこのガンに罹患している
確率はいくつだろうか?

答えは「いいえ」

わたしがガンに罹っている確率は95%だと判断すべきなのでしょうか。
もしも、本当に「自分がガンである確率は95パーセント」ならば、あなたは
この結果に相当悲観することでしょう。実際に、そう勘違いしているかた
もたくさんおられるかもしれません。しかし、実際は、「陽性」という
結果から「あなたはガンである確率」推定すると4.5%程度になります。
ずいぶん違いますが、これをガンに羅患している事後確率になります。
そんなに高い数値ではなのです。この推定は、陽性という「結果」から
「ガンである」という「原因」にさかのぼる推定なので、典型的な
ベイズ推定の典型な例になります

事前確率

「ガンに羅患している人」羅患率 0.001
「健康な人」 1-0.001=0.999になります
次のステップは
条件付確率を設定する
検査結果としての「陽性」と「陰性」になり。客観的な治験データが利用でき
ます。
ガンの罹患者は陽性の確率(0.95) 陰性の確率(0.05)
健康者の陽性の確率(0.02) 陰性の確率(0.98)

これは、簡易検査は完璧なものではなく、誤診のリスクがある、ということ
この場合のリスクとは「ガンなのに、ガンでない」第二種過誤と、「ガンでないのに
ガンと診断される」第一種過誤とがあります。

事後確率

あなたは今、検査によって陽性になった、という現実に直面しています。
あなたの体の中で起きていることをに関する情報を1つ観測したことになる
わけです。これはあなたに、あなたが属している世界について、追加的な
情報を与てくれます。
あなたの現実の世界では「陽性」という診断が観測されたのですから、
「陰性」という世界は消え去ります。

簡易検査をして
ガンで陽性は0.0095%
健康で陽性は1.998%

 

ベイズ逆確率

簡易検査で「陽性」との診断結果の後は
可能世界は2つに限定される
「ガン&陽性」の世界か「健康&陽性」の世界のいずれかです。
正規化条件を復旧するために、比例関係を保ったまま、「足して
1になる」ようにする
0.095:1.998
0.095+1.998=2.093
o.oo95/2.093:1.998/2.093
0.0454:0.9546
になる
この結果から、あなたが陽性という検査結果を得た下で、あなたが当該の
ガンに罹患している事後確率は4.5パーセント程度である

なぜ、こんなに差があるのか

もともとガンの羅患者が非常に稀で、健康な人が圧倒的に多いので
健康な人を陽性と誤診してしまうケースが無視できないほど大きい数値
なのです。
陽性が出たと行っても、健康なのに誤診された可能性の法が、圧倒的
に高いわけです。過度な悲観は禁物です。